Josephus问题

Sat, 05 Dec 2009 00:00:00 +0000

1. 问题的由来

Josephus问题是以10世纪的著名历史学家Flavius Josephus命名的. 据说, Josephus 如果没有数学才能, 他就不会在活着的时候出名! 在犹太人和古罗马人战争期间, 他是陷如罗马人陷阱的41个犹太反抗者之一. 反抗者宁死不做俘虏, 他们决定围成一个圆圈,

且围绕圆圈来进行, 杀死所有第3个剩下的人直到没有一个人留下. 但是, Josephus和一个

不告发的同谋者感到自杀是愚蠢的行为, 所以以他快速计算出在此恶性循环中他和他的朋友应该站的地方. 因此, 他们活了下来…

**2. 平凡的解法 **

我们用一个循环连表来模拟他们的行为。为了省事，我直接找了一个一个java代码：

class Josephus
{
    static class Node
    {
        int val; Node next;
        Node(int v) { val = v; }
    }
    public static void main(String[] args)
    {
        int N = Integer.parseInt(args[0]);
        int M = Integer.parseInt(args[1]);

        Node t = new Node(1);
        Node x = t;

        for(int i = 2; i <= N; x = (x.next=new Node(i++)));

        x.next = t;

        while(x != x.next)
        {
            for(int i = 1; i < M; i++) x = x.next;
            x.next = x.next.next;
        }
        Out.println("Survivor is " + x.val);
    }
}

3. 递归公式

喜欢这个问题的朋友肯定不满足上面的方法，很想知道更简单的算法。其实Josephus问题中的序列确实存在递归的公式。但是递归公式的推导比较麻烦，我就直接给出结果。如果想了解详细过程可以查阅相关资料。

假设有n个人，每次杀第m个人，则k为第k个被杀死的人…

j1: x  <- k*m
j2: if(x <= n) 输入结果x
j3: x <- floor((m*(x-n)-1)/(m-1)), goto j1

以C语言实现如下：

unsigned josephus(unsigned  m, unsigned  n, unsigned  k)
{
    unsigned x = km;
    while(x <= n) x = (m*(x-n)-1)/(m-1);
    return  x;
}

4. m为2的情况

现在考虑一种m为2的特殊情形。这时候有更简单的递归公式：

x = 2*n + 1 - (2*n+1-2*k)*2^log2((2*n)/(2*n+1-2*k))

其中，log2((2*n)/(2*n+1-2*k))为计算(2*n)/(2*n+1-2*k)以2为底的对数，结果向下取整数。

观察2^log2((2*n)/(2*n+1-2*k))整体，可以理解为将(2*n)/(2*n+1-2*k)向下舍取到2的幂。有些地方把这中运算称为地板函数，我们定义为flp2，下面是 C语言的实现：

unsigned flp2(unsigned  x)
{
    unsigned y;
    do { y = x; x &= x-1; }while(x);
    return y;
}

其中x &= x-1;语句是每次把x二进制最右边的1修改为0，直到最左边的1为止. 这种方法也可以用来计算x二进制中1的数目，当x二进制中1的数目比较小的时候算法的效率很高。

m为2的代码实现:

unsigned josephus2k(unsigned n, unsigned k)
{
    unsiged t = (n<<1) - (k<<1) + 1;
    return (n<<1)+1 - t*flp2((n<<1)/t);
}

5. m为2的情况, k为n的情形

该问题一般都是计算最后一个被杀的人的位置。现在考虑更为特殊的，m为2的情况, k为n的情形。

令k=n可以化简前边m=2的公式：

x = 2*n + 1 - (2*n+1-2*n)*2^log2((2*n)/(2*n+1-2*n))

即

x = 2*n + 1 - 2^log2(2*n)

从二进制的角度可以理解为：将n左移1位（即乘以2），然后将最右端设置为1（既加1），最后将左端的1置为0（既减去2*n的向下取的2的幂）。

更简单的描述是将n的二进制表示循环左移动一位!

例如: n为1011001 -> 0110011 -> 110011

用代码实现为：

unsigned josephus2n(unsigned n)
{
    return ((n-flp2(n))<<1)|1;
}

继续修改：

unsigned josephus2n(unsigned n)
{
    return ((n&(~flp2(n)))<<1)|1;
}

参考资料: 具体数学.

Josephus on chai2010 的博客

Josephus问题